Exemple d'utilisation de la relation de Chasles

Exemple
Soit \(f\) la fonction définie sur \([0~;~3]\) par : \(\begin{cases} f(x)=x \text{ si } x\in[0~;~1] \\ f(x)=1\text{ si }x\in ]1~;~2]\\ f(x)=-x+3 \text{ si } x\in ]2~;~3] \end{cases}\).
On veut calculer \(\displaystyle \int_0^ 3f(x)\ \text d x\).

La figure suivante illustre la situation.

On utilise la relation de Chasles. On a alors :
\(\begin{align*}\displaystyle\int_0^3f(x)\ \text dx&=\displaystyle\int_0^1f(x)\ \text dx+\displaystyle\int_1^2f(x)\ \text dx+\displaystyle\int_2^3f(x)\ \text dx\\&=\displaystyle\int_0^1x\ \text dx+\displaystyle\int_1^21\ \text dx+\displaystyle\int_2^3-x+3\ \text dx\end{align*}\)

• La première intégrale est l'aire \(\mathcal A_1\) d'un triangle rectangle isocèle de côté 1.
  Ainsi, \(\mathcal A_1=\dfrac{1\times1}{2}=0{,}5\).
• La deuxième intégrale est l'aire \(\mathcal A_2\) d'un carré de côté 1.
  Ainsi, \(\mathcal A_2=1\times1=1\).
• La troisième intégrale est l'aire \(\mathcal A_3\) d'un triangle rectangle isocèle de côté 1.
  Ainsi \(\mathcal A_3=\mathcal A_1=0{,}5\).
  

Or la fonction \(f\) est positive sur ces trois intervalles, ainsi : 
\(\begin{align*}\displaystyle\int_0^3f(x)\ \text dx&=\displaystyle\int_0^1x\ \text dx+\displaystyle\int_1^21\ \text dx+\displaystyle\int_2^3f(x)\ \text dx\\&=0{,}5+1+0{,}5\\&=2\end{align*}\)